Можливості підключення, однозв'язного, багатозв'язна

Нагадаємо визначення ряду понять з теорії функцій декількох змінних, якими нам доведеться користуватися.

Безліч точок {на прямий, на площині, в просторі} називається зв'язковим, якщо будь-які дві точки цієї множини можна з'єднати безперервної кривої, цілком належить цій множині.

Область {на площині, в просторі} називається однозв'язної, якщо будь-який замкнутий контур, що лежить в цій області, можна безперервної деформацією стягнути в точку, не виходячи при цьому за межі області.

приклади:

Однозв'язного куля, паралелепіпед і взагалі будь-який опуклий обсяг в просторі. Односвязен кульової шар, укладений між двома сферами. Приклад неодносвязной області: тор. Весь простір однозв'язного і залишається однозв'язного, якщо з нього видалити точку або відрізок. Якщо ж видалити з простору пряму, воно втратить властивість однозв'язного: окружність, що охоплює цю пряму, не вдасться стягнути в точку, не перетинаючи пряму.

Кусково-гладка межа обмеженою однозв'язної області завжди связна, отже, є контуром.

Теорема Гріна для однозв'язної області

Нехай на площині $ \ mathbf {\ textit {Oxy}} $ задана однозв'язна область $ \ mathbf {\ textit {D}} $, обмежена кусочно-гладким контуром $ \ mathbf {\ textit {C}} $. На безлічі $ \ bar {D} = D \ cup C $ визначені безперервні функції $ P (x, y) $ і $ Q (x, y) $, що мають безперервні приватні похідні.

Тоді $ \ oint \ limits_С {P (x, y) dx + Q (x, y) dy = \ iint \ limits_D {\ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial x} - \ frac {\ partial P} {\ partial y}} \ right) dxdy}} $, при цьому контур $ \ mathbf {\ textit {C}} $ обходиться так, що область $ \ mathbf {\ textit {D}} $ залишається зліва.

Доведення

1). Нехай $ \ mathbf {\ textit {D}} $ - проста область. Доведемо спочатку, що $ \ oint \ limits_C {P (x, y) dy} = - \ iint \ limits_D {\ frac {\ partial P} {\ partial y} dxdy} $.

$ Y = \ varphi _2 (x) y = \ varphi _1 (x) $

Наведемо $ \ mathbf {\ textit {D}} $ нерівностями $ D: \ left ({\ begin {array} {l} a \ leqslant x \ leqslant b, \\ \ varphi _1 (x) \ leqslant y \ leqslant \ varphi _2 (x). \\ \ end {array}} \ right. $

Тоді $ - \ iint \ limits_D {\ frac {\ partial P} {\ partial y} dxdy} = - \ int \ limits_a ^ b {dx \ int \ limits_ {\ varphi _1 (x)} ^ {\ varphi _x ( x)} {\ frac {\ partial P} {\ partial y} dy}} = - \ int \ limits_a ^ b {\ left. {P (x, y)} \ right | _ {\ varphi _1 (x)} ^ {\ varphi _2 (x)} dx} = - \ int \ limits_a ^ b {P (x, \ varphi _2 (x) ) dx} - + \ int \ limits_a ^ b {P (x, \ varphi _1 (x)) dx} = \\ = \ int \ limits_a ^ b {P (x, \ varphi _1 (x)) dx} - \ int \ limits_b ^ a {P (x, \ varphi _2 (x)) dx} = \ int \ limits_ {\ mathop {ABE} \ limits ^ \ cup} {P (x, y) dx} + \ int \ limits_ {\ mathop {FGA} \ limits ^ \ cup} {P (x, y) dx} $.

Якщо контур включає вертикальні ділянки, такі як $ \ mathbf {\ textit {EF}} $, то на цих ділянках $ \ mathbf {\ textit {dx}} = 0 $, тому $ \ int \ limits_ {\ mathop {EF} \ limits ^ \ cup} {P (x, y) dx} = 0 $, і $ y = \ psi _2 (y) y = \ psi _1 (y) - \ iint \ limits_D {\ frac {\ partial P} {\ partial y} dxdy} = \ int \ limits_ {\ mathop {ABE} \ limits ^ \ cup} {P (x, y) dx} + \ int \ limits_ {\ mathop {EF} \ limits ^ \ cup} {P (x, y) dx} + \ int \ limits_ {\ mathop {FGA} \ limits ^ \ cup} {P (x, y) dx} = \ oint \ limits_C {P (x, y) dx} $ , що й потрібно було довести.

Рівність $ \ oint \ limits_C {Q (x, y) dy} = \ iint \ limits_D {\ frac {\ partial Q} {\ partial x} dxdy} $ доводиться точно також:

$ \ Iint \ limits_D {\ frac {\ partial Q} {\ partial x} dxdy} = \ int \ limits_c ^ d {dy \ int \ limits_ {\ psi _1 (y)} ^ {\ psi _2 (y)} {\ frac {\ partial Q} {\ partial x} dx}} = \ int \ limits_c ^ d {\ left. {Q (x, y)} \ right | _ {\ psi _1 (y)} ^ {\ psi _2 (y)} dy} = \ int \ limits_c ^ d {Q (\ psi _2 (y), y) dy} - \ int \ limits_c ^ d {Q (\ psi _1 (y), y) dy} = \\ = \ int \ limits_ {\ mathop {BEFG} \ limits ^ \ cup} {Q (x, y) dy} + \ int \ limits_ {\ mathop {GAC} \ limits ^ \ cup} {Q (x, y) dy} = \ oint \ limits_C {Q (x, y) dy} $.

Підсумовуючи рівності $ \ oint \ limits_C {P (x, y) dy} = - \ iint \ limits_D {\ frac {\ partial P} {\ partial y} dxdy} $ і $ \ oint \ limits_C {Q (x, y ) dy} = \ iint \ limits_D {\ frac {\ partial Q} {\ partial x} dxdy} $, отримаємо одну з найважливіших формул аналізу - формулу Гріна $ \ oint \ limits_С {P (x, y) dx + Q ( x, y) dy = \ iint \ limits_D {\ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial x} - \ frac {\ partial P} {\ partial y}} \ right) dxdy}} $

2). Нехай тепер $ \ mathbf {\ textit {D}} $ - довільна, не обов'язково проста, область. Розіб'ємо її на прості частини. Нехай це розбиття проводиться відрізком $ \ mathbf {\ textit {АВ}} $ і нехай подобласти $ \ mathbf {\ textit {D}} _ {1} $ і $ \ mathbf {\ textit {D}} _ {2} $ - результат розбиття. Для цих підобластей формула Гріна доведена:

$ \ Oint \ limits_ {ABFA} {Pdx + Qdy = \ iint \ limits_ {D_1} {\ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial x} - \ frac {\ partial P} {\ partial y} } \ right) dxdy}} $ і $ \ oint \ limits_ {AEBA} {Pdx + Qdy = \ iint \ limits_ {D_2} {\ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial x} - \ frac { \ partial P} {\ partial y}} \ right) dxdy}} $.

По властивості адитивності $ \ oint \ limits_ {ABFA} {Pdx + Qdy} = \ oint \ limits_ {AB} {Pdx + Qdy} + \ oint \ limits_ {BFA} {Pdx + Qdy} $, $ \ oint \ limits_ { AEBA} {Pdx + Qdy} = \ oint \ limits_ {AEB} {Pdx + Qdy} + \ oint \ limits_ {BA} {Pdx + Qdy} = \ oint \ limits_ {AEB} {Pdx + Qdy} - \ oint \ limits_ {AB} {Pdx + Qdy} $

Підсумовуючи ці вирази, переконуємося, що криволінійні інтеграли по відрізках $ \ mathbf {\ textit {АВ}} $ і $ \ mathbf {\ textit {ВА}} $ взаємно знищуються, а сума інтегралів по кривим $ \ mathbf {\ textit {BFA }} $ і $ \ mathbf {\ textit {AEB}} $ дає інтеграл по контуру $ \ mathbf {\ textit {C}} $, тобто формула Гріна вірна і для області, яка не є простою.

Доказ залишається справедливим і в разі, коли розбиття проводиться додаванням більшої кількості, ніж одна, кривих.

Теорема Гріна для многосвязной області

Нехай тепер $ \ mathbf {\ textit {D}} $ багатозв'язна на площині $ \ mathbf {\ textit {Oxy}} $. Кордон многосвязной області складається з декількох зв'язкових частин, які не мають спільних точок.

Розглянемо випадок, коли межа області $ \ mathbf {\ textit {D}} $ {на малюнку область заштрихована} складається з зовнішнього контуру $ \ mathbf {\ textit {C}} $ і внутрішніх контурів $ \ mathbf {\ textit {C} } _ {1} $ і $ \ mathbf {\ textit {C}} _ ​​{2} $.

З'єднаємо контур $ \ mathbf {\ textit {C}} $ розрізом $ \ mathbf {\ textit {FM}} $ з контуром $ \ mathbf {\ textit {C}} _ ​​{1} $, розрізом $ \ mathbf {\ textit {BG}} $ - з контуром $ \ mathbf {\ textit {C}} _ ​​{2} $. {Під словами "з'єднаємо розрізом $ \ mathbf {\ textit {BG}} $" мається на увазі те, що ми вилучимо з $ \ mathbf {\ textit {D}} $ відрізок $ \ mathbf {\ textit {BG}}) $.

Область $ {D} '= D \ backslash (BG \ cup FM) $ з кордоном $ {\ Gamma}' = \ mathop {AB} \ limits ^ \ cup \ cup BG \ cup (C_2 = \ mathop {GLKG} \ limits ^ \ cup) \ cup GB \ cup \ mathop {BF} \ limits ^ \ cup \ cup FM \ cup C_1 \ cup MF \ cup \ mathop {MA} \ limits ^ \ cup $ однозв'язна, тому для неї справедлива формула Гріна :

$ \ Oint \ limits_ {{\ Gamma} '} {Pdx + Qdy = \ iint \ limits_ {{D}'} {\ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial x} - \ frac {\ partial P} {\ partial y}} \ right) dxdy}} $

Подвійні інтеграли по областям $ \ mathbf {\ textit {D}} $ і $ {D} '\ mathbf {} $ рівні {площа розрізів дорівнює нулю}; в криволінійний інтеграл по кусково-гладкої кривої $ {\ Gamma} '$ інтеграли по розрізах входять з протилежними знаками {$ \ int \ limits_ {BG} {Pdx} + Qdy $ і $ \ int \ limits_ {GB} {Pdx} + Qdy $, наприклад} і тому взаємно знищуються, тому виявляється справедлива теорема Гріна для многосвязной області:

нехай на площині $ \ mathbf {\ textit {Oxy}} $ дана багатозв'язна область $ \ mathbf {\ textit {D}} $ з кордоном $ \ Gamma $. На безлічі $ \ bar {D} = D \ cup \ Gamma $ визначені безперервні функції $ P (x, y) $ і $ Q (x, y) $, що мають безперервні приватні похідні. Тоді $ \ oint \ limits_ \ Gamma {P (x, y) dx + Q (x, y) dy = \ iint \ limits_D {\ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial x} - \ frac { \ partial P} {\ partial y}} \ right) dxdy}} $, при цьому кожна частина повної кордону $ \ Gamma $ обходиться так, що область $ \ mathbf {\ textit {D}} $ залишається зліва.