Новости
Завдання, тести С.Н.КАРТАШОВ,
с. Маїс, Пензенська обл.
с. Маїс, Пензенська обл.
Пропоновані завдання розглядаються з учнями 10-х і 11-х класів на засіданні шкільного фізичного гуртка. Вони вимагають знань по 
темі «Закони постійного струму», вміння досліджувати функції на екстремум за допомогою похідної, а також навичок програмування на комп'ютері.
ЗАВДАННЯ 1. Знайдіть залежність потужності, що виділяється в зовнішній ланцюга, від числа однакових споживачів (лампочок), з'єднаних паралельно. ЕРС джерела 
, Його внутрішній опір r.
Рішення
Нехай опору всіх лампочок однакові R 1 = R 2 = ... = Rn, P - потужність, що виділяється в зовнішній ланцюга, P 1 - потужність, що виділяється на кожній лампочці. Очевидно, що P = nP 1; P 1 = I 12 R 1, де I 1 - струм, що проходить через кожну лампочку.
Сила струму в нерозгалужене ланцюга:
(1)
Застосовуючи перше правило Кірхгофа, маємо
(2)
З урахуванням (2) маємо для потужності 
Повна потужність, що виділяється в зовнішній ланцюга:
(3)
Неважко помітити, що якщо n 
, То P 0. Це означає, що при необмеженому збільшенні кількості лампочок ми не досягнемо нескінченного збільшення потужності, що виділяється в зовнішній ланцюга. Навпаки, потужність буде прагнути до нуля.
З формули (3) випливає також, що якщо r 0, то P n 2 / R. Тобто, якщо джерело струму ідеальний (r = 0), то потужність зростає прямо пропорційно числу споживачів в ланцюзі. Але внутрішній опір джерела струму не може дорівнювати нулю, тому досягти нескінченного збільшення потужності у зовнішній ланцюга за рахунок збільшення числа споживачів неможливо. Навпаки, досягнувши максимуму, потужність, що виділяється в зовнішній ланцюга, почне зменшуватися з ростом споживачів.
Для отримання повної картини залежності потужності Р від кількості споживачів n, можна запропонувати учням побудувати графік залежності P (n) на комп'ютері ( = 20 В, r = 0,5 Ом, R 1 = 100 Ом). У рубриці «Додаткові матеріали» на сайті газети http://fiz.1september.ru наводимо авторську комп'ютерну програму WATT для побудови вищезгаданої залежності (середовище програмування QBasic, комп'ютер Celeron 1300).
Змінюючи внутрішній опір r при незмінних і R 1, робимо висновок: потужність P, що виділяється в зовнішній ланцюга, убуває з ростом r. Змінюючи R 1 при незмінних і r, робимо висновок: від опору однієї лампочки максимум потужності P не залежить. Цей максимум зсувається вправо при збільшенні R 1 і зсувається вліво при зменшенні R 1. Число ламп в ланцюзі, при якому спостерігається максимум потужності, так само nmax = R 1 / r. Тобто потужність, що виділяється в зовнішній ланцюга, максимальна, якщо внутрішній опір джерела струму дорівнює зовнішньому опору ланцюга: r = R 1 / nmax. Розрахункові результати добре узгоджуються з результатами наступної, схожою, завдання.
ЗАВДАННЯ 2. При якому значенні R потужність, що виділяється в зовнішній ланцюга, максимальна? ЕРС джерела струму , Внутрішній опір r.
Рішення
Отримаємо формулу залежності потужності P, що виділяється в зовнішній ланцюга, від зовнішнього опору R і досліджуємо функцію P (r) на екстремум за допомогою похідної.
Згідно із законом Ома для повного кола, струм I = / (R + r), потужність, що виділяється в зовнішній ланцюга:
Диференціюючи P по R:
Знайдемо критичні точки з умови P '= 0:
(R + r) 2 - 2 R (R + r) = 0;
(R + r) · (R + r - 2 R) = 0;
(R + r) · (r - R) = 0.
Маємо дві критичні точки R = - r і R = r. Але тому що R> 0, то R = - r не має сенсу. Похідна P 'змінює знак з «+» на «-» в точці R = r, отже, R = r - точка мінімуму.
Отже, потужність максимальна, якщо R = r, тобто внутрішній опір джерела струму дорівнює зовнішньому опору. Це означає, що стосовно до задачі 1 максимум потужності спостерігається при R = r, але тому що опір n однакових ламп дорівнює R = R 1 / n, то r = R 1 / n, або n = nmax = R 1 / r.
Розрахуємо максимум потужності, використовуючи формулу (3) і умова r = R 1 / n:
(4)
при = 12 В, r = 0,4 Ом і R 1 = 20 Ом маємо nmax = R 1 / r = 50 ламп.
Відповідно до формули (4), Pmax = 90 Вт. Все це дуже добре узгоджується з результатами комп'ютерного експерименту. Крім того, з цієї формули випливає, що максимум потужності залежить від внутрішнього опору обернено пропорційно, в чому легко переконатися, використовуючи комп'ютерну програму WATT, наведену на сайті газети http://fiz.1september.ru .
На закінчення необхідно сказати, що все вище наведені викладки, а також результати, отримані за допомогою комп'ютерної програми для ланцюгів постійного струму, справедливі і для ланцюгів змінного струму.
Можливий більш сучасний підхід, якщо використовувати для моделювання таблицю МicrosoftExcel. Якщо R - зовнішній опір ланцюга, то 
Побудуємо графік для тих же даних: 1 = 20 В, r = 0,5 Ом, змінюючи R від 0,1 до 2,7 Ом з кроком 0,1 Ом. Для цього в комірку B4 введемо формулу = $ B $ 1 ^ 2 * A4 / (A4 + $ B $ 2) ^ 2 і скопіюємо її в осередку В5-В30. Графіки, побудовані за допомогою таблиці Excel і програми WATT, збігаються (максимум потужності 200 Вт виходить, якщо зовнішнє опір ланцюга одно внутрішньому опору джерела струму). У рубриці «Додаткові матеріали» до № 9/2008 на сайті газети приведена програма «Потужність», аналогічна програмі WATT, але на більш високому мовою VisualBasic 6.0, результат розрахунку з її допомогою, а також таблиця МicrosoftExcel.
Сергій Миколайович Карташов - вчитель фізики вищої кваліфікаційної категорії, випускник фізфаку МПДУ ім. В.І.Леніна 1993 р Педагогічний стаж 14 років. Учні Сергія Володимировича займають призові місця на районних олімпіадах з фізики та математики. Педагогічне кредо: моделювання фізичних процесів на комп'ютері, індивідуальна робота з сильними дітьми. Один закінчив фізфак МГУ ім. М.В.Ломоносова, ще один вчиться в університеті ім. Н. Е. Баумана. У 2002 р Сергій Володимирович був нагороджений почесною грамотою МОіН РФ. Одружений, синові 3,5 року. Хобі: шахи, розв'язання олімпіадних завдань з фізики і математики, кулінарія.