Формула швидкості хвилі

  1. Формула фазової швидкості хвилі
  2. Формула для обчислення фазовоїшвидкості поширення поздовжніх хвиль
  3. Формула для фазової швидкості поширення поперечних хвиль
  4. Формула для групової швидкості хвиль
  5. Приклади завдань з рішенням

визначення

Фронт хвилі (хвильова поверхня) - це геометричне місце точок середовища, для яких в певний момент часу фаза хвилі має одне і те ж значення.

Швидкістю хвилі називають швидкість, з якою рухається фронт хвилі.

Формула фазової швидкості хвилі

Розглянемо одновимірний випадок для гармонійної хвилі. Рівняння хвильової поверхні при це запишемо як:

\ [Ф_s = \ omega t-kx + \ varphi \ \ left (1 \ right), \]

де $ {\ Ф} _s $ - фаза хвилі; $ K = \ frac {2 \ pi} {\ lambda} $ - хвильове число; $ \ Lambda $ - довжина хвилі; $ \ Omega $ - циклічна частота; $ \ Varphi $ - початкова фаза. Рівняння (1) в кожен момент часу відповідає тільки одна точка осі X координата якої, дорівнює:

\ [X = \ frac {\ omega t + \ varphi -Ф_s} {k} \ left (2 \ right). \]

Різним значенням фази хвилі $ Ф_s $ відповідають різні хвильові поверхні, кожна з яких в одновимірної хвилі перетворюється в точку. З формули (2) видно, що хвильові поверхні переміщаються в середовищі зі швидкістю:

\ [\ Frac {dx} {dt} = \ frac {\ omega} {k} = \ frac {\ lambda} {T} = v \ \ left (3 \ right), \]

де $ T $ - період коливань точок в хвилі.

Якщо хвилі гармонійні, то швидкість руху хвильової поверхні дорівнює швидкості поширення хвилі. Швидкість, яку визначає вираз (3) є фазовою швидкістю.

Фазова швидкість гармонійної хвилі збігається зі швидкістю поширення енергії хвилі.

Швидкість хвилі залежить від речовини, в якому поширюється хвиля і типу хвилі. Швидкість хвилі - це не те ж саме, що швидкість коливання частинок середовища в хвилі.

Формула для обчислення фазовоїшвидкості поширення поздовжніх хвиль

Швидкість поширення поздовжніх пружних хвиль в однорідних в газах або рідинах може бути обчислена як:

\ [V = \ sqrt {\ frac {K} {\ rho}} \ left (4 \ right), \]

де $ K $ - модуль об'ємної пружності речовини; $ \ Rho = const $ - щільність середовища. У газах формула (4) виконується, якщо надлишковий тиск багато менше, рівноважного тиск газу в невозмущенном стані.

Для знаходження швидкості поширення поздовжніх хвиль в газі застосовують вираз:

\ [V = \ sqrt {\ frac {\ gamma p} {\ rho}} \ left (5 \ right), \]

де $ \ gamma $ - показник адіабати; $ P $ - тиск газу.

Поздовжні механічні хвилі можуть поширюватися в твердих тілах, їх фазова швидкість дорівнює:

\ [V = \ sqrt {\ frac {E} {\ rho}} \ left (6 \ right), \]

де $ E $ - модуль Юнга речовини стержня.

Формула для фазової швидкості поширення поперечних хвиль

Поперечні механічні хвилі здатні поширюватися тільки в твердих тілах. Швидкість ($ v $) поширення поперечних хвиль у нескінченній ізотропному середовищі при цьому можна знайти як:

\ [V = \ sqrt {\ frac {G} {\ rho} \ left (7 \ right),} \]

де $ G $ - модуль зсуву середовища; $ \ Rho $ - щільність речовини.

Пружні властивості і щільність твердого тіла залежить від хімічного складу речовини, і вона несуттєво змінюється при зміні тиску і температури. Тому в більшості випадків швидкість поширення хвилі можна вважати постійною.

Формула для групової швидкості хвиль

Крім фазовоїшвидкості для опису поширення диспергирующих хвиль застосовують поняття групової швидкості. При цьому фазова швидкість може залежати від частоти, при цьому в речовині поширюються хвилі складного негармоніческого характеру, тоді з групову швидкість простіше використовувати, як характеристику швидкості поширення хвиль.

Груповий швидкістю називають швидкість переміщення групи (цуга) хвиль, які створюють в кожен момент часу, локалізований в просторі, хвильової пакет. Будь-яка реальна хвиля являє собою суперпозицію гармонійних хвиль. Швидкість, з якою така хвиля поширюється в речовині, що має дисперсію, дорівнює фазової швидкості накрадивающіхся хвиль. Поширення хвилі визначають переміщенням енергії коливань, яку переносить група віл від джерела.

Групова швидкість ($ u $) пов'язана з фазовою швидкістю ($ v $) формулою:

\ [U = v- \ frac {dv} {d \ lambda} \ left (8 \ right). \]

Якщо дисперсія відсутня, то $ \ frac {dv} {d \ lambda} = 0 $, тоді фазова і групова швидкості рівні і не залежать від довжини хвилі.

Приклади завдань з рішенням

приклад 1

Завдання. За час рівне $ t = 20 $ c хвилі відбувається $ N = $ 100 коливань, при цьому відстань між сусідніми максимумами хвилі становить 1 м. Яка швидкість поширення хвилі?

Рішення. Зробимо малюнок.

В якості основи для вирішення задачі використовуємо формулу для обчислення фазовоїшвидкості хвилі виду:

\ [V = \ frac {\ lambda} {T} \ \ left (1.1 \ right). \]

Знайдемо період коливань як час одного повного коливання:

\ [T = \ frac {t} {N} \ \ left (1.2 \ right). \]

Використовуючи формулу (1.2) швидкість будемо обчислювати, застосовуючи формулу:

\ [V = \ frac {\ lambda N} {t}. \]

Обчислимо шукану швидкість:

\ [V = \ frac {1 \ cdot 100} {20} = 5 \ left (\ frac {м} {з} \ right). \]

Відповідь. $ V = 5 \ frac {м} {з} $

приклад 2

Завдання. Рівняння плоскої хвилі, яка поширюється вздовж позитивного напрямку осі X, має вигляд: $ \ xi \ left (x, t \ right) = 2 {\ cos \ left [\ omega \ left (t- \ frac {x} {v} \ right) \ right] \} \ left (м \ right). $ Частота коливань $ \ nu = 450 $ Гц, довжина хвилі $ \ lambda = 0,8 \ $ м. Яка швидкість поширення хвилі, якою буде максимальна швидкість коливання частинок середовища?

Рішення. Фазову швидкість руху хвилі знайдемо як:

\ [V = \ frac {\ lambda} {T} = \ lambda \ nu \ \ left (2.1 \ right), \]

де період - величина зворотна частоті коливань:

\ [T = \ frac {1} {\ nu} \ left (2.2 \ right). \]

Обчислимо фазову швидкість:

\ [V = 450 \ cdot 0,8 = 360 \ \ left (\ frac {м} {з} \ right). \]

Швидкість коливання частинок дорівнює:

\ [\ Frac {d \ xi} {dt} = \ frac {d} {dt} \ left (2 {cos \ left [\ omega \ left (t- \ frac {x} {v} \ right) \ right ] \} \ right) = - 2 \ omega {\ sin \ left [\ omega \ left (t- \ frac {x} {v} \ right) \ right] \ left (2.3 \ right). \} \]

Максимальне значення швидкості коливань частинок у хвилі з (2.3) дорівнює:

\ [{\ Left (\ frac {d \ xi} {dt} \ right)} _ {max} = \ left | 2 \ omega \ right | \ left (2.4 \ right). \]

Циклічну частоту знайдемо як:

\ [\ Omega = 2 \ pi \ nu, \]

тоді:

\ [{\ Left (\ frac {d \ xi} {dt} \ right)} _ {max} = \ left | 2 \ cdot 2 \ pi \ nu \ right | = 4 \ pi \ nu. \]

Обчислимо максимальну швидкість коливань частинок:

\ [{\ Left (\ frac {d \ xi} {dt} \ right)} _ {max} = 4 \ pi \ cdot 450 = 5,65 \ cdot {10} ^ 3 \ left (\ frac {м} {з} \ right). \]

Відповідь. $ V = 360 \ \ frac {м} {з} $, $ {\ left (\ frac {d \ xi} {dt} \ right)} _ {max} = 5,65 \ cdot {10} ^ 3 \ frac {м} {з} $

Читати далі: формула швидкості вільного падіння .

Яка швидкість поширення хвилі?
Яка швидкість поширення хвилі, якою буде максимальна швидкість коливання частинок середовища?

Уважаемые партнеры, если Вас заинтересовала наша продукция, мы готовы с Вами сотрудничать. Вам необходимо заполнить эту форму и отправить нам. Наши менеджеры в оперативном режиме обработают Вашу заявку, свяжутся с Вами и ответят на все интересующее Вас вопросы.

Или позвоните нам по телефонам: (048) 823-25-64

Организация (обязательно) *

Адрес доставки

Объем

Как с вами связаться:

Имя

Телефон (обязательно) *

Мобильный телефон

Ваш E-Mail

Дополнительная информация: