1. 8.1 Обчислення похідної

Анотація: Розглядаються символьні обчислення інтегралів і похідних функцій.

Диференціювання в Octave здійснюється в техніці символьних змінних. Для роботи з символьними змінними в Octave підключіть спеціальний пакет розширень octave-symbolic. Установка пакетів розширень описана в першому розділі, техніка роботи з символьними змінними - в п. 2.7. У функціях інтегрування реалізовані різні чисельні алгоритми.

8.1 Обчислення похідної

Диференціювання в Octave здійснюється за допомогою функції , де - символьний вираз, - змінна диференціювання, - порядок диференціювання (при параметр можна опустити). Іншими словами, функція обчислює -у похідну виразу по змінній .

похідної функції в точці називається межа, до якого прагне відношення нескінченно малого приросту функції до відповідного нескінченно малому приросту аргументу. Геометричний сенс цього поняття полягає в тому, що якщо до графіка функції провести дотичну в точці , То її кутовий коефіцієнт, буде дорівнює значенню похідної в цій точці . Отже, рівняння дотичної до лінії в заданій точці має вигляд:

Графік функції і її дотичній

Приклад 8.1. Записати рівняння дотичної до функції , В точці .

з лістингу 8.1 бачимо, що рівняння дотичної до функції в заданій точці має вигляд y .

clear all; x0 = -1; symbols x = sym ( "x"); f = (3 - x ^ 2-7) / (2 - x + 1); f1 = differentiate (f, x)% Перша похідна від заданої функції% Рівняння дотичної: k = subs (f1, x, x0), f (x0) = subs (f, x, x0) y = subs (f1, x, x0) - (x-x0) + subs (f, x, x0) f1 = (6.0) * x * (1.0+ (2.0) * x) ^ (- 1) - (2.0) * (- 7.0+ (3.0 ) * x ^ (2.0)) * (1.0+ (2.0) * x) ^ (- 2) y = 18.0-9.029803704631804845E-19 * I + (14.0-6.0198691364212032297E-19 * I) * x Лістинг 8.1. Отримання рівняння дотичній (приклад 8.1).

на Мал. 8.1 представлені графіки заданої функції і її дотичній. Малюнок побудований за допомогою команд з лістингу 8.2 .

clear all; clf; cla; symbols x = sym ( "x"); L1 = ezplot ( '(3 * x ^ 2-7) / (2 * x + 1)'); set (L1, 'LineWidth', 3, 'Color', 'k') hold on L2 = ezplot ('18 + 14 * x '); set (L2, 'LineWidth', 2, 'Color', 'k', 'Marker', 'o') set (gca, 'xlim', [-4, 2]); set (gca, 'ylim', [-6, 10]); set (gca, 'xtick', [-4: 2]); set (gca, 'ytick', [-6: 2: 10]); grid on; xlabel ( 'x'); ylabel ( 'y'); title ( '(3 * x ^ 2-7) / (2 * x + 1), 18 + 14 * x'); Лістинг 8.2. Графік функції і її дотичній (приклад 8.1).

Приклад 8.2. Знайти a) і б) .

Рішення прикладу показано в лістингу 8.3 .

>>> clear all; >>> symbols >>> x = sym ( "x"); % Приклад а) >>> f = (5 Sin (2 - x)) / Sqrt (Cos (2 - x)); >>> f1 = differentiate (f, x) f1 = (5.0) * sin ((2.0) * x) ^ 2 * cos ((2.0) * x) ^ (- 3/2) + (10.0) * sqrt ( cos ((2.0) * x))% Приклад б) >>> f = Tan (Log (x) ^ (1/3)); >>> f1 = differentiate (f, x) f1 = (0.333) * (1 + tan (log (x) ^ (0.333)) ^ 2) * x ^ (- 1) * log (x) ^ (- 0.666 ) Лістинг 8.3. Знаходження похідних (приклад 8.2).

якщо функція задана параметричними рівняннями , То похідна обчислюється за формулою

Приклад 8.3. Знайти похідну функції, заданої параметрично:

лістинг 8.4 містить рішення прикладу.

>>> clear all; >>> symbols >>> t = sym ( "t"); >>> x = 3-Cos (t) ^ 3; >>> y = 3-Sin (t) ^ 3; >>> xt = differentiate (x, t); >>> yt = differentiate (y, t); >>> f = yt / xt f = -sin (t) - cos (t) ^ (-1.0) Лістинг 8.4. Похідна параметричної функції (приклад 8.3).

Приклад 8.4. Знайти похідні a) б) ( лістинг 8.5 ).

>>> clear all; >>> symbols >>> x = sym ( "x"); % Приклад а) >>> f = Log (Cos (x)); >>> differentiate (f, x, 2) ans = -1-cos (x) ^ (- 2) -sin (x) ^ 2% Приклад б) >>> f = Tan (x); >>> differentiate (f, x, 4) ans = 16- (1 + tan (x) ^ 2) ^ 2-tan (x) + 8- (1 + tan (x) ^ 2) -tan (x) ^ 3 Лістинг 8.5. Похідні вищих порядків (приклад 8.4).

Приклад 8.5. знайти похідні

Вираз для обчислення другої похідної параметричної функції: .

В лістингу 8.6 представлено рішення прикладу

>>> clear all; >>> symbols >>> t = sym ( "t"); >>> x = t-Sin (t); >>> y = 1-Cos (t); >>> xt = differentiate (x, t); >>> yt = differentiate (y, t); >>> xt2 = differentiate (x, t, 2); >>> yt2 = differentiate (y, t, 2); >>> z = (yt2-xt-xt2-yt) / xt ^ 3 z = - (1-cos (t)) ^ (- 3.0) - (cos (t) - (- 1 + cos (t)) + sin (t) ^ 2) Лістинг 8.6. Друга похідна параметричної функції (пр. 8.5).
Мал. 8.2. Дослідження функції на зростання та спадання